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Come calcolare scientificamente i consumi di un’auto

Posted in auto elettriche, minicar elettriche, scooter elettrici by jumpjack on 17 settembre 2019

La formula generica del “carico stradale”

Per sapere quanto consuma un’auto prima di acquistarla, ci si può basare sulle  informazioni raccolte da enti come l’americano EPA, che effettua sulle auto prove e misure che permettono di compilare tabelle come questa.

In questa tabella sono riportati i coefficienti legati al “carico stradale” (o comunque si traduca “road load”), ossia i coefficienti di questa equazione:

F = A + Bv + Cv^2

Si tratta di una forma molto compatta della formula completa che esprime la forza totale che agisce su un veicolo in movimento a velocità costante, che è del tipo:

F = (Am + Bmv + CmV^2)  +  (0.5 * rho * Cd *  A * V^2 )  +   (m *g *  dh/ds)

o anche

F = m * g * Crr    +    0.5 * rho * Cd * A  * v^2  + m * g* sin(alfa)  = K +  Hv^2

 

L’attrito volvente (rolling friction)

Se gli esponenti in quest’ultima formula non tornano con la prima (manca il  termine in v) è perchè il coefficiente di attrito di rotolamento Crr in realtà non è perfettamente costante ma varia anch’esso con la velocità, anche se in modo più complesso rispetto a Cd: è quasi costante fino a velocità di 70-80 km/h, aumenta quasi linearmente per velocità fino a 100-120 km/h, poi aumenta esponenzialmente; quindi l’equazione che lo definisce deve avere termini costanto, in v (lineare) e in v^2 (esponenziale), che vanno quindi a complicare l’equazione K +  Hv^2 aggiungendo il termine in v.

Il coefficiente Crr (o Cr) è dato dal rapporto tra la forza di attrito volvente Frr, che si oppone al moto, e la forza-peso che agisce sulla ruota, Fz, quindi è un numero adimensionale (fonte 1):

Crr = Frr/Fz

Valori tipici di Crr si aggirano intorno a 0.010 (o 10 kilogrammi per tonnellata), ma alcuni pneumatici progettati specificamente per ridurre i consumi possono scendere a 0.008 (8 kg/t) (fonte 4).

 

Valori tabulati dei coefficienti di carico stradale

L’EPA compila queste tabelle, in cui sono presenti appunto i suddetti coefficienti A, B e C.  Normalmente servirebbero per programmare il dinamometro su cui viene messa un’auto per testarla, ma si possono (forse?) anche usare per determinare teoricamente la potenza assorbita a una data velocità (essendo P = F*v); in queste tabelle vengono forniti due gruppi di parametri: i “target coefficients” e i “set coefficients”; i primi sono forniti dal costruttore, insieme al valore RLHP50 (Total Road Load Horse power at 50 mph); questi dati vengono usati preliminarmente per impostare il dinamometro che dovrà testare il veicolo; effettuata un primo test, è possibile dedurre quali sono le perdite intrinseche del veicolo (in pratica, i contributi di Crr e Cd) queste perdite vanno quindi sottratte ai coefficienti “target”, in modo da ottenere i coefficienti “set”, cioè quelli effettivamente da impostare sul dinamometro affinchè simuli correttamente il carico stradale. In pratica, il dinamometro deve essere tarato in modo da esercitare sull’auto una forza che simuli attrito dell’aria e attrito delle ruote, usando però solo le ruote, quindi deve essere opportunamente tarato per “simulare il vento”. Quindi, per calcolare i consumi di un’auto a velocità costante, nella formula F = A + Bv + Cv^2 bisogna inserire i “set coefficients“.

Dalla Fonte 7:

The target coefficients (A, B, and C) utilized for the dynamometer testing were directly derived from the coastdown testing. […] Immediately following this warm-up, the dynamometer coastdown correlation procedure was executed to determine the vehicle losses. [… ]The vehicle losses and target coefficients were used to derive the dynamometer set coefficients required for testing, which dictate the actual loading of the dynamometer onto the vehicle under test. 

 

Sull’inerzia rotazionale delle ruote

Le ruote non si oppongono al moto solo tramite l’attrito volvente, ma anche tramite la loro inerzia; nel primo caso si ha una forza che agisce sia in accelerazione che a velocità costante; nel secondo caso la forza agisce solo in accelerazione; se cioè si imprime al veicolo una forza Fa per accelerarlo, bisognerà considerare la forza Fd che l’inerzia esercita per decelerarlo, e sarà non solo l’inerzia dovuta alla massa del veicolo, ma anche quella dovuta alla rotazione delle parti rotanti: motore, albero di trasmissione e ruote. Il contributo di forza dovuto agli organi rotanti si può calcolare considerando la “massa inerziale virtuale” che corrisponde alla forza necessaria per mettere in rotazione questi organi; sommandola alla massa effettiva, si ha la “massa equivalente”.

In generale, per un veicolo, se non si hanno i dati esatti, si può considerare come massa equivalente:

Meq = Mreale + 0,04*Mreale

Bisogna cioè aggiungere alla massa reale del veicolo il 4% di essa (fonte 4), ossia se un veicolo pesa 1000 kg, per metterlo in movimento servirà una forza pari a

F = (1000 + 40) * A

anzichè semplicemente

F = 1000 * A

Per la ruota in sè, la massa equivalente è data da:

Meq = Mreale + 0.5*Mreale

Bisogna cioè aggiungere alla massa effettiva della ruota il 50% della stessa, per tenere conto dell’inerzia rotazionale.

La formula generica sarebbe:

Meq = Mreale + I/R^2

Ma per calcolarla bisognerebbe conoscere il momento di inerzia I della ruota, espresso in kg/m^2 , dato che non sempre è disponibile o calcolabile.

Esempio. Per uno pneumatico 175/70/R13 MXT si ha:

  • Mcerchione = 6.1 kg
  • Icerchione = 0.125 kg.m2
  • Mpneumatico = 7 kg
  • Ipneumatico = 0.456 kg.m2
  • Raggio = 0.28 m

Facendo i calcoli:

  • Massa rotazionale del cerchione = 0.125/(0.28^2) = 1.59 kg
  • Massa rotazionale dello pneumatico = 0.456/(0.28^2) = 5.81 kg
  • Totale massa rotazionale: 7.40 kg
  • Percentuale rispetto a massa inerziale: 7.40/13.1 = 57%

La massa totale di cerchione e pneumatico è di 13.1 kg, ma la massa equivalente è 20.5 kg

I quattro pneumatici aggiungerebbero quindi una massa virtuale rotazionale di 4*7.4 kg, che rispetto a un veicolo di 1500 kg, sono il 2%.

Si tratta però solo del contributo di  cerchioni e  pneumatici, a cui poi bisogna aggiungere quelli di motore e trasmissione, ovviamente non calcolabili direttamente. Di qui l’uso del suddetto “valore tipico” del 4%.

 

Fonti

  1. Rolling Resistance Modelling From Functional Data Analysis to Asset Management System –  Lasse G. Andersen  – PhD Dissertation  – 2015
  2. Road load determination of passenger cars – Gerrit Kadijk, Norbert Ligterink – 2012
  3. “Rolling Resistance”, in “The Automotive Chassis (Second Edition), Jörnsen Reimpell , Jürgen W. Betzler – 2001”
  4. “The tyre – Rolling resistance and fuel saving”, Michelin, 2003
  5. TEST PROCEDURE – Driving Resistance – Green Ncap – 2019
  6. Determination and Use of Vehicle Road-Load Force and Dynamometer Settings – US EPA – 2015
  7. The Measured Impact of Vehicle Mass on Road Load Forces and Energy Consumption for a BEV, HEV, and ICE Vehicle – R. Carlson, Idaho National Laboratory et. al. – 2013

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